त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) में दो विषमतलीय रेखाओं (skew lines) r = a1 + λb1 और r = a2 + μb2 के बीच की न्यूनतम दूरी (shortest distance) का सूत्र क्या है?

दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी d = |[(a2 - a1) · (b1 × b2)]| / |b1 × b2| होती है; यदि दोनों रेखाएँ समांतर हों (b1 = b2 = b), तो दूरी d = |(a2 - a1) × b| / |b| होती है।

केप्लर का तृतीय नियम (Kepler's third law of planetary motion) क्या है और पृथ्वी की सतह के निकट पलायन वेग (escape velocity) का सूत्र क्या है?

केप्लर के तृतीय नियम के अनुसार ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है (T² ∝ a³); पृथ्वी से पलायन वेग ve = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ 11.2 km/s होता है जो कक्षीय वेग का √2 गुना है।

द्विपद बंटन (Binomial Distribution) B(n, p) में यदि सफलता की प्रायिकता p और असफलता की प्रायिकता q = 1 - p हो, तो माध्य (mean) और प्रसरण (variance) का मान क्या होता है?

द्विपद बंटन B(n, p) में r सफलताओं की प्रायिकता P(X = r) = nCr · p^r · q^(n-r) होती है, इसका माध्य E(X) = np तथा प्रसरण Var(X) = npq होता है (अतः 0 < p < 1 के लिए माध्य सदैव प्रसरण से बड़ा होता है)।

परवलय (Parabola) y² = 4ax पर प्रवणता m वाली स्पर्श रेखा (tangent) का समीकरण और स्पर्श बिंदु के निर्देशांक क्या होते हैं?

प्रवणता रूप में स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx + (a/m) होता है (जहाँ m ≠ 0), और परवलय पर स्पर्श बिंदु के निर्देशांक (a/m², 2a/m) होते हैं।

श्रेणी LCR प्रत्यावर्ती धारा परिपथ (Series LCR AC circuit) में अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) और विशेषता गुणांक (Quality factor - Q) का सूत्र क्या है?

अनुनाद पर XL = XC होता है जिससे प्रतिबाधा न्यूनतम (Z = R) और कोणीय अनुनाद आवृत्ति ω0 = 1/√(LC) होती है; विशेषता गुणांक Q = (ω0·L)/R = (1/R)√(L/C) अनुनाद की तीक्ष्णता (sharpness of resonance) को मापता है।

निश्चित समाकलन (Definite Integration) में किंग्स प्रॉपर्टी (King's property) क्या है और इससे ∫(0 से π/2) [sin^n(x) / (sin^n(x) + cos^n(x))] dx का मान क्या आता है?

गुणधर्म ∫(a से b) f(x) dx = ∫(a से b) f(a + b - x) dx लगाने पर दिया गया समाकल I और परिवर्तित समाकल जुड़कर 2I = ∫(0 से π/2) 1 dx = π/2 देते हैं, अतः समाकल का मान सदैव π/4 होता है।

सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM) करते हुए कण का विस्थापन x = A·sin(ωt + φ) हो, तो किस स्थिति पर गतिज ऊर्जा (kinetic energy) और स्थितिज ऊर्जा (potential energy) बराबर होती हैं?

जब विस्थापन x = ±A/√2 होता है, तब स्थितिज ऊर्जा U = ½kx² = ¼kA² और गतिज ऊर्जा K = ½k(A² - x²) = ¼kA² दोनों कुल यांत्रिक ऊर्जा (E = ½kA²) के आधे के बराबर होती हैं।

अर्धचालक भौतिकी (Semiconductor Physics) में जेनर डायोड (Zener diode) किस अभिनति (biasing) में कार्य करता है और इसका मुख्य उपयोग क्या है?

जेनर डायोड अत्यधिक अपमिश्रित (heavily doped) p-n संधि डायोड है जो पश्च अभिनति (reverse bias) के भंजन क्षेत्र (breakdown region) में कार्य करता है और इसका मुख्य उपयोग वोल्टेज नियंत्रक (voltage regulator) के रूप में किया जाता है।

एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B के लंबवत v वेग से प्रवेश करने वाले आवेशित कण (q, m) के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या और आवर्तकाल का सूत्र क्या है?

लॉरेंज बल qvB अभिकेंद्र बल mv²/r प्रदान करता है, जिससे पथ की त्रिज्या r = mv / (qB) = √(2mK) / (qB) और आवर्तकाल T = 2πm / (qB) होता है (आवर्तकाल कण की चाल v और त्रिज्या r से स्वतंत्र होता है)।

आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण (Einstein's photoelectric equation) क्या है और निरोधी विभव (stopping potential V0) आपतित प्रकाश की तीव्रता पर क्यों निर्भर नहीं करता?

समीकरण K_max = eV0 = hν - φ0 = hc(1/λ - 1/λ0) है; निरोधी विभव V0 केवल आपतित फोटॉनों की आवृत्ति (ν) और धातु के कार्य फलन (φ0) पर निर्भर करता है, जबकि तीव्रता बढ़ाने से केवल उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (संतृप्त धारा) बढ़ती है।

एक ठोस गोले (solid sphere) और एक खोखले गोले (hollow sphere) को समान नत समतल (inclined plane) से बिना फिसले लुढ़काया जाता है; कौन सा गोला नीचे पहले पहुँचेगा?

ठोस गोला पहले पहुँचेगा क्योंकि बिना फिसले लोटनी गति में त्वरण a = g·sinθ / (1 + I/mR²) होता है; ठोस गोले के लिए I/mR² = 2/5 (0.4) खोखले गोले के 2/3 (0.67) से कम है, अतः ठोस गोले का त्वरण अधिक होता है।

आदर्श गैस के रुद्धोष्म प्रक्रम (adiabatic process) के लिए अवस्था समीकरण और किए गए कार्य (work done) का सूत्र क्या है?

रुद्धोष्म प्रक्रम में ऊष्मा का आदान-प्रदान शून्य (ΔQ = 0) होता है, अवस्था समीकरण PV^γ = स्थिरांक (जहाँ γ = Cp/Cv) होता है, और गैस द्वारा किया गया कार्य W = (P1V1 - P2V2) / (γ - 1) = nR(T1 - T2) / (γ - 1) होता है।

फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण का नियम (Faraday's law of electromagnetic induction) और लेंज का नियम (Lenz's law) क्या दर्शाते हैं?

प्रेरित विद्युत वाहक बल ε = -dΦB/dt होता है; ऋणात्मक चिह्न लेंज के नियम को दर्शाता है कि प्रेरित धारा सदैव उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करती है जिससे वह उत्पन्न हुई है, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुकूल है।

प्रथम कोटि और प्रथम घात के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) dy/dx + P(x)·y = Q(x) का समाकलन गुणक (Integrating Factor) और व्यापक हल क्या है?

समाकलन गुणक (I.F.) = e^(∫P(x) dx) होता है, और अवकल समीकरण का व्यापक हल y · (I.F.) = ∫ [Q(x) · (I.F.)] dx + C होता है।

केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton theorem) क्या है और इसका उपयोग आव्यूह A का प्रतिलोम (inverse A⁻¹) ज्ञात करने में कैसे किया जाता है?

प्रत्येक वर्ग आव्यूह A अपने अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) det(A - λI) = 0 को संतुष्ट करता है; इस बहुपद समीकरण में A⁻¹ से गुणा करके A⁻¹ को A की उच्च घातों के रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) में डी मॉयवर प्रमेय (De Moivre's theorem) और इकाई के nवें मूलों (nth roots of unity) के योग व गुणनफल का मान क्या होता है?

डी मॉयवर प्रमेय से पूर्णांक n के लिए (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ) होता है; n ≥ 2 के लिए इकाई के n मूलों 1, ω, ω², ..., ω^(n-1) का योग 1 + ω + ω² + ... + ω^(n-1) = 0 और गुणनफल (-1)^(n-1) होता है।

यदि A एक n × n कोटि का वर्ग आव्यूह (square matrix) हो, तो |adj(A)| और |adj(adj(A))| का मान सारणिक |A| के पदों में क्या होता है?

यदि कोटि n ≥ 2 के वर्ग आव्यूह A के लिए |A| ≠ 0 हो, तो A·adj(A) = |A|·I_n से |adj(A)| = |A|^(n-1) होता है, तथा व्यापक रूप में k बार सहखंडज लेने पर |adj(adj(...A))| = |A|^((n-1)^k), यानी दो बार के लिए |adj(adj(A))| = |A|^((n-1)²) होता है।

दीर्घवृत्त (Ellipse) x²/a² + y²/b² = 1 (a > b) की उत्केंद्रता (eccentricity e) का सूत्र क्या है और इसके किसी बिंदु P के दोनों नाभीय दूरियों का योग (SP + S'P) कितना होता है?

उत्केंद्रता का संबंध b² = a²(1 - e²) अर्थात e = √(1 - b²/a²) है, नाभियाँ (±ae, 0) हैं, और दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु P की दोनों नाभियों से दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a के बराबर (SP + S'P = 2a) होता है।

न्यूटन-लाइबनिज सूत्र (Newton-Leibniz rule for differentiation under integral sign) द्वारा d/dx [∫(φ(x) से ψ(x)) f(t) dt] का अवकलन कैसे किया जाता है?

इसका अवकलज f(ψ(x))·ψ'(x) - f(φ(x))·φ'(x) होता है; अर्थात ऊपरी सीमा को फलन में रखकर ऊपरी सीमा के अवकलज से गुणा करते हैं और उसमें से निचली सीमा वाला पद घटा देते हैं।

रोल का प्रमेय (Rolle's theorem) और लैग्रांज का माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem - LMVT) क्या है?

यदि f(x) संवृत अंतराल [a, b] में सतत और विवृत अंतराल (a, b) में अवकलनीय हो, तो LMVT के अनुसार कम से कम एक c ∈ (a, b) ऐसा होता है कि f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a); यदि f(a) = f(b) हो तो रोल प्रमेय से f'(c) = 0 होता है।

सीमा (Limits) में lim(x→0) (1 + f(x))^(g(x)) यदि 1^∞ अनिर्धार्य रूप (indeterminate form) में हो, तो इसका मान ज्ञात करने का मानक सूत्र क्या है?

जब lim(x→a) f(x) = 0 और lim(x→a) g(x) = ±∞ हो तथा lim(x→a) f(x)·g(x) = L एक परिमित संख्या हो, तब सीमा का मान e^[lim(x→a) f(x)·g(x)] = e^L होता है; उदाहरण के लिए lim(x→0) (1 + kx)^(1/x) = e^k होता है।

किरचॉफ के दोनों नियम (Kirchhoff's Current Law & Voltage Law) किन भौतिक राशियों के संरक्षण पर आधारित हैं?

किरचॉफ का प्रथम नियम या संधि नियम (ΣI = 0) विद्युत आवेश के संरक्षण (conservation of charge) पर आधारित है, जबकि द्वितीय नियम या लूप नियम (ΣΔV = 0) ऊर्जा संरक्षण (conservation of energy) पर आधारित है।

स्थिरवैद्युतिकी में गौस का नियम (Gauss's law in electrostatics) क्या है और एकसमान आवेशित गोलीय कोश (spherical shell) के भीतर विद्युत क्षेत्र कितना होता है?

किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स ΦE = ∮ E·dA = q_in / ε0 होता है; आवेशित गोलीय कोश के भीतर परिबद्ध आवेश शून्य (q_in = 0) होने के कारण भीतर हर बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य (E = 0) और विभव अचर (V = kQ/R) होता है।

घूर्णी गति (rotational motion) में जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) के लिए समांतर अक्ष प्रमेय (Parallel Axis Theorem) और लंबवत अक्ष प्रमेय (Perpendicular Axis Theorem) क्या हैं?

समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार I = Icm + Md² (किसी भी त्रिविमीय पिंड के लिए मान्य), जहाँ d द्रव्यमान केंद्र से समांतर अक्ष की दूरी है; लंबवत अक्ष प्रमेय (केवल समतलीय पटल के लिए) के अनुसार Iz = Ix + Iy होता है।

कार्नो इंजन (Carnot heat engine) की दक्षता (efficiency, η) का सूत्र क्या है और क्या यह कार्यरत पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है?

कार्नो इंजन की दक्षता η = 1 - (T2 / T1) होती है, जहाँ T1 स्रोत (source) का परम ताप और T2 सिंक (sink) का परम ताप (केल्विन में) है; यह कार्यरत गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती और दो दिए गए तापों के बीच अधिकतम संभव दक्षता देती है।

बायो-सावर्ट नियम (Biot-Savart law) और एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere's circuital law) के अनुसार अनंत लंबाई के सीधे धारावाही तार से r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होता है?

बायो-सावर्ट नियम dB = (μ0/4π)(I dl × r̂)/r² तथा एम्पीयर के नियम ∮ B·dl = μ0·I_enclosed से अनंत सीधे तार के कारण r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र B = μ0·I / (2πr) और परिमित तार के लिए B = (μ0·I / 4πr)(sinθ1 + sinθ2) होता है।

बोर के परमाणु मॉडल (Bohr's atomic model) के अनुसार हाइड्रोजन सदृश परमाणु में nवीं कक्षा की त्रिज्या (rn), इलेक्ट्रॉन का वेग (vn) और कुल ऊर्जा (En) का अनुपात क्या है?

त्रिज्या rn = 0.529 (n²/Z) Å, वेग vn = 2.18×10⁶ (Z/n) m/s और कुल ऊर्जा En = -13.6 (Z²/n²) eV होती है; साथ ही कक्षा में गतिज ऊर्जा K = -E और स्थितिज ऊर्जा U = 2E होती है।

प्रायिकता (Probability) में बेज प्रमेय (Bayes' Theorem) का सूत्र क्या है?

यदि E1, E2, ..., En प्रतिदर्श समष्टि S का विभाजन करते हैं और घटना A घटित हो चुकी है, तो घटना Ei की पश्च प्रायिकता P(Ei | A) = [P(Ei) · P(A | Ei)] / [Σ P(Ek) · P(A | Ek)] होती है।

द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) में (1 + x)^n के प्रसार में सभी द्विपद गुणांकों का योग और सम-विषम स्थानों के गुणांकों का योग क्या होता है?

सभी द्विपद गुणांकों का योग C0 + C1 + C2 + ... + Cn = 2^n होता है, तथा सम और विषम द्विपद गुणांकों का योग बराबर होता है: C0 + C2 + C4 + ... = C1 + C3 + C5 + ... = 2^(n-1)।

सदिश बीजगणित (Vector Algebra) में तीन सदिशों a, b, c के अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product [a b c]) और सदिश त्रिक गुणनफल (vector triple product a × (b × c)) का सूत्र क्या है?

अदिश त्रिक गुणनफल [a b c] = a · (b × c) समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन देता है (समतलीय सदिशों के लिए शून्य), जबकि सदिश त्रिक गुणनफल a × (b × c) = (a · c)b - (a · b)c होता है।

संधारित्र (capacitor) की प्लेटों के बीच परावैद्युतांक K (dielectric constant K) की पट्टिका पूर्णतः भरने पर धारिता, विभवांतर और संचित ऊर्जा पर क्या प्रभाव पड़ता है (जब बैटरी हटा दी गई हो)?

बैटरी हटाने पर आवेश Q नियत रहता है, धारिता C' = KC हो जाती है, विद्युत क्षेत्र E' = E/K, विभवांतर V' = V/K और संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा U' = U/K (घटकर 1/K गुनी) हो जाती है।

यंग के द्वि-झिरी प्रयोग (Young's Double Slit Experiment - YDSE) में फ्रिंज चौड़ाई (fringe width β) का सूत्र क्या है और एक झिरी के सामने t मोटाई व μ अपवर्तनांक की पट्टिका रखने पर फ्रिंज पैटर्न कितना विस्थापित होता है?

फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d होती है; पट्टिका रखने पर संपूर्ण फ्रिंज पैटर्न पट्टिका वाली झिरी की ओर Δy = (μ - 1)t·D / d = (μ - 1)t·β / λ दूरी से विस्थापित हो जाता है, जबकि फ्रिंज चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।

JEE Main & Advanced भौतिकी और गणित: यांत्रिकी, विद्युतचुंबकत्व, कलन (Calculus) और बीजगणित

न्यूटन के नियम, घूर्णी गति, गौस और एम्पीयर का नियम, प्रकाशिकी, अवकलन, समाकलन, सदिश और प्रायिकता

Level: intermediate
Languages: hi → hi
Cards: 32
Markdown: JEE Main & Advanced भौतिकी और गणित: यांत्रिकी, विद्युतचुंबकत्व, कलन (Calculus) और बीजगणित (.md)

Flashcards (32)

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1	त्रिविमीय ज्यामिति (3D Geometry) में दो विषमतलीय रेखाओं (skew lines) r = a1 + λb1 और r = a2 + μb2 के बीच की न्यूनतम दूरी (shortest distance) का सूत्र क्या है?	दो विषमतलीय रेखाओं के बीच की न्यूनतम दूरी d = \|[(a2 - a1) · (b1 × b2)]\| / \|b1 × b2\| होती है; यदि दोनों रेखाएँ समांतर हों (b1 = b2 = b), तो दूरी d = \|(a2 - a1) × b\| / \|b\| होती है।
2	केप्लर का तृतीय नियम (Kepler's third law of planetary motion) क्या है और पृथ्वी की सतह के निकट पलायन वेग (escape velocity) का सूत्र क्या है?	केप्लर के तृतीय नियम के अनुसार ग्रह के परिक्रमण काल का वर्ग अर्ध-दीर्घ अक्ष के घन के समानुपाती होता है (T² ∝ a³); पृथ्वी से पलायन वेग ve = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ 11.2 km/s होता है जो कक्षीय वेग का √2 गुना है।
3	द्विपद बंटन (Binomial Distribution) B(n, p) में यदि सफलता की प्रायिकता p और असफलता की प्रायिकता q = 1 - p हो, तो माध्य (mean) और प्रसरण (variance) का मान क्या होता है?	द्विपद बंटन B(n, p) में r सफलताओं की प्रायिकता P(X = r) = nCr · p^r · q^(n-r) होती है, इसका माध्य E(X) = np तथा प्रसरण Var(X) = npq होता है (अतः 0 < p < 1 के लिए माध्य सदैव प्रसरण से बड़ा होता है)।
4	परवलय (Parabola) y² = 4ax पर प्रवणता m वाली स्पर्श रेखा (tangent) का समीकरण और स्पर्श बिंदु के निर्देशांक क्या होते हैं?	प्रवणता रूप में स्पर्श रेखा का समीकरण y = mx + (a/m) होता है (जहाँ m ≠ 0), और परवलय पर स्पर्श बिंदु के निर्देशांक (a/m², 2a/m) होते हैं।
5	श्रेणी LCR प्रत्यावर्ती धारा परिपथ (Series LCR AC circuit) में अनुनाद आवृत्ति (resonant frequency) और विशेषता गुणांक (Quality factor - Q) का सूत्र क्या है?	अनुनाद पर XL = XC होता है जिससे प्रतिबाधा न्यूनतम (Z = R) और कोणीय अनुनाद आवृत्ति ω0 = 1/√(LC) होती है; विशेषता गुणांक Q = (ω0·L)/R = (1/R)√(L/C) अनुनाद की तीक्ष्णता (sharpness of resonance) को मापता है।
6	निश्चित समाकलन (Definite Integration) में किंग्स प्रॉपर्टी (King's property) क्या है और इससे ∫(0 से π/2) [sin^n(x) / (sin^n(x) + cos^n(x))] dx का मान क्या आता है?	गुणधर्म ∫(a से b) f(x) dx = ∫(a से b) f(a + b - x) dx लगाने पर दिया गया समाकल I और परिवर्तित समाकल जुड़कर 2I = ∫(0 से π/2) 1 dx = π/2 देते हैं, अतः समाकल का मान सदैव π/4 होता है।
7	सरल आवर्त गति (Simple Harmonic Motion - SHM) करते हुए कण का विस्थापन x = A·sin(ωt + φ) हो, तो किस स्थिति पर गतिज ऊर्जा (kinetic energy) और स्थितिज ऊर्जा (potential energy) बराबर होती हैं?	जब विस्थापन x = ±A/√2 होता है, तब स्थितिज ऊर्जा U = ½kx² = ¼kA² और गतिज ऊर्जा K = ½k(A² - x²) = ¼kA² दोनों कुल यांत्रिक ऊर्जा (E = ½kA²) के आधे के बराबर होती हैं।
8	अर्धचालक भौतिकी (Semiconductor Physics) में जेनर डायोड (Zener diode) किस अभिनति (biasing) में कार्य करता है और इसका मुख्य उपयोग क्या है?	जेनर डायोड अत्यधिक अपमिश्रित (heavily doped) p-n संधि डायोड है जो पश्च अभिनति (reverse bias) के भंजन क्षेत्र (breakdown region) में कार्य करता है और इसका मुख्य उपयोग वोल्टेज नियंत्रक (voltage regulator) के रूप में किया जाता है।
9	एकसमान चुंबकीय क्षेत्र B के लंबवत v वेग से प्रवेश करने वाले आवेशित कण (q, m) के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या और आवर्तकाल का सूत्र क्या है?	लॉरेंज बल qvB अभिकेंद्र बल mv²/r प्रदान करता है, जिससे पथ की त्रिज्या r = mv / (qB) = √(2mK) / (qB) और आवर्तकाल T = 2πm / (qB) होता है (आवर्तकाल कण की चाल v और त्रिज्या r से स्वतंत्र होता है)।
10	आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण (Einstein's photoelectric equation) क्या है और निरोधी विभव (stopping potential V0) आपतित प्रकाश की तीव्रता पर क्यों निर्भर नहीं करता?	समीकरण K_max = eV0 = hν - φ0 = hc(1/λ - 1/λ0) है; निरोधी विभव V0 केवल आपतित फोटॉनों की आवृत्ति (ν) और धातु के कार्य फलन (φ0) पर निर्भर करता है, जबकि तीव्रता बढ़ाने से केवल उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉनों की संख्या (संतृप्त धारा) बढ़ती है।
11	एक ठोस गोले (solid sphere) और एक खोखले गोले (hollow sphere) को समान नत समतल (inclined plane) से बिना फिसले लुढ़काया जाता है; कौन सा गोला नीचे पहले पहुँचेगा?	ठोस गोला पहले पहुँचेगा क्योंकि बिना फिसले लोटनी गति में त्वरण a = g·sinθ / (1 + I/mR²) होता है; ठोस गोले के लिए I/mR² = 2/5 (0.4) खोखले गोले के 2/3 (0.67) से कम है, अतः ठोस गोले का त्वरण अधिक होता है।
12	आदर्श गैस के रुद्धोष्म प्रक्रम (adiabatic process) के लिए अवस्था समीकरण और किए गए कार्य (work done) का सूत्र क्या है?	रुद्धोष्म प्रक्रम में ऊष्मा का आदान-प्रदान शून्य (ΔQ = 0) होता है, अवस्था समीकरण PV^γ = स्थिरांक (जहाँ γ = Cp/Cv) होता है, और गैस द्वारा किया गया कार्य W = (P1V1 - P2V2) / (γ - 1) = nR(T1 - T2) / (γ - 1) होता है।
13	फैराडे के विद्युतचुंबकीय प्रेरण का नियम (Faraday's law of electromagnetic induction) और लेंज का नियम (Lenz's law) क्या दर्शाते हैं?	प्रेरित विद्युत वाहक बल ε = -dΦB/dt होता है; ऋणात्मक चिह्न लेंज के नियम को दर्शाता है कि प्रेरित धारा सदैव उस चुंबकीय फ्लक्स परिवर्तन का विरोध करती है जिससे वह उत्पन्न हुई है, जो ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुकूल है।
14	प्रथम कोटि और प्रथम घात के रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equation) dy/dx + P(x)·y = Q(x) का समाकलन गुणक (Integrating Factor) और व्यापक हल क्या है?	समाकलन गुणक (I.F.) = e^(∫P(x) dx) होता है, और अवकल समीकरण का व्यापक हल y · (I.F.) = ∫ [Q(x) · (I.F.)] dx + C होता है।
15	केली-हैमिल्टन प्रमेय (Cayley-Hamilton theorem) क्या है और इसका उपयोग आव्यूह A का प्रतिलोम (inverse A⁻¹) ज्ञात करने में कैसे किया जाता है?	प्रत्येक वर्ग आव्यूह A अपने अभिलाक्षणिक समीकरण (characteristic equation) det(A - λI) = 0 को संतुष्ट करता है; इस बहुपद समीकरण में A⁻¹ से गुणा करके A⁻¹ को A की उच्च घातों के रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किया जाता है।
16	सम्मिश्र संख्याओं (Complex Numbers) में डी मॉयवर प्रमेय (De Moivre's theorem) और इकाई के nवें मूलों (nth roots of unity) के योग व गुणनफल का मान क्या होता है?	डी मॉयवर प्रमेय से पूर्णांक n के लिए (cosθ + i·sinθ)^n = cos(nθ) + i·sin(nθ) होता है; n ≥ 2 के लिए इकाई के n मूलों 1, ω, ω², ..., ω^(n-1) का योग 1 + ω + ω² + ... + ω^(n-1) = 0 और गुणनफल (-1)^(n-1) होता है।
17	यदि A एक n × n कोटि का वर्ग आव्यूह (square matrix) हो, तो \|adj(A)\| और \|adj(adj(A))\| का मान सारणिक \|A\| के पदों में क्या होता है?	यदि कोटि n ≥ 2 के वर्ग आव्यूह A के लिए \|A\| ≠ 0 हो, तो A·adj(A) = \|A\|·I_n से \|adj(A)\| = \|A\|^(n-1) होता है, तथा व्यापक रूप में k बार सहखंडज लेने पर \|adj(adj(...A))\| = \|A\|^((n-1)^k), यानी दो बार के लिए \|adj(adj(A))\| = \|A\|^((n-1)²) होता है।
18	दीर्घवृत्त (Ellipse) x²/a² + y²/b² = 1 (a > b) की उत्केंद्रता (eccentricity e) का सूत्र क्या है और इसके किसी बिंदु P के दोनों नाभीय दूरियों का योग (SP + S'P) कितना होता है?	उत्केंद्रता का संबंध b² = a²(1 - e²) अर्थात e = √(1 - b²/a²) है, नाभियाँ (±ae, 0) हैं, और दीर्घवृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु P की दोनों नाभियों से दूरियों का योग दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a के बराबर (SP + S'P = 2a) होता है।
19	न्यूटन-लाइबनिज सूत्र (Newton-Leibniz rule for differentiation under integral sign) द्वारा d/dx [∫(φ(x) से ψ(x)) f(t) dt] का अवकलन कैसे किया जाता है?	इसका अवकलज f(ψ(x))·ψ'(x) - f(φ(x))·φ'(x) होता है; अर्थात ऊपरी सीमा को फलन में रखकर ऊपरी सीमा के अवकलज से गुणा करते हैं और उसमें से निचली सीमा वाला पद घटा देते हैं।
20	रोल का प्रमेय (Rolle's theorem) और लैग्रांज का माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem - LMVT) क्या है?	यदि f(x) संवृत अंतराल [a, b] में सतत और विवृत अंतराल (a, b) में अवकलनीय हो, तो LMVT के अनुसार कम से कम एक c ∈ (a, b) ऐसा होता है कि f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a); यदि f(a) = f(b) हो तो रोल प्रमेय से f'(c) = 0 होता है।
21	सीमा (Limits) में lim(x→0) (1 + f(x))^(g(x)) यदि 1^∞ अनिर्धार्य रूप (indeterminate form) में हो, तो इसका मान ज्ञात करने का मानक सूत्र क्या है?	जब lim(x→a) f(x) = 0 और lim(x→a) g(x) = ±∞ हो तथा lim(x→a) f(x)·g(x) = L एक परिमित संख्या हो, तब सीमा का मान e^[lim(x→a) f(x)·g(x)] = e^L होता है; उदाहरण के लिए lim(x→0) (1 + kx)^(1/x) = e^k होता है।
22	किरचॉफ के दोनों नियम (Kirchhoff's Current Law & Voltage Law) किन भौतिक राशियों के संरक्षण पर आधारित हैं?	किरचॉफ का प्रथम नियम या संधि नियम (ΣI = 0) विद्युत आवेश के संरक्षण (conservation of charge) पर आधारित है, जबकि द्वितीय नियम या लूप नियम (ΣΔV = 0) ऊर्जा संरक्षण (conservation of energy) पर आधारित है।
23	स्थिरवैद्युतिकी में गौस का नियम (Gauss's law in electrostatics) क्या है और एकसमान आवेशित गोलीय कोश (spherical shell) के भीतर विद्युत क्षेत्र कितना होता है?	किसी बंद पृष्ठ से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स ΦE = ∮ E·dA = q_in / ε0 होता है; आवेशित गोलीय कोश के भीतर परिबद्ध आवेश शून्य (q_in = 0) होने के कारण भीतर हर बिंदु पर विद्युत क्षेत्र शून्य (E = 0) और विभव अचर (V = kQ/R) होता है।
24	घूर्णी गति (rotational motion) में जड़त्व आघूर्ण (moment of inertia) के लिए समांतर अक्ष प्रमेय (Parallel Axis Theorem) और लंबवत अक्ष प्रमेय (Perpendicular Axis Theorem) क्या हैं?	समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार I = Icm + Md² (किसी भी त्रिविमीय पिंड के लिए मान्य), जहाँ d द्रव्यमान केंद्र से समांतर अक्ष की दूरी है; लंबवत अक्ष प्रमेय (केवल समतलीय पटल के लिए) के अनुसार Iz = Ix + Iy होता है।
25	कार्नो इंजन (Carnot heat engine) की दक्षता (efficiency, η) का सूत्र क्या है और क्या यह कार्यरत पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करती है?	कार्नो इंजन की दक्षता η = 1 - (T2 / T1) होती है, जहाँ T1 स्रोत (source) का परम ताप और T2 सिंक (sink) का परम ताप (केल्विन में) है; यह कार्यरत गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती और दो दिए गए तापों के बीच अधिकतम संभव दक्षता देती है।
26	बायो-सावर्ट नियम (Biot-Savart law) और एम्पीयर के परिपथीय नियम (Ampere's circuital law) के अनुसार अनंत लंबाई के सीधे धारावाही तार से r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र क्या होता है?	बायो-सावर्ट नियम dB = (μ0/4π)(I dl × r̂)/r² तथा एम्पीयर के नियम ∮ B·dl = μ0·I_enclosed से अनंत सीधे तार के कारण r दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र B = μ0·I / (2πr) और परिमित तार के लिए B = (μ0·I / 4πr)(sinθ1 + sinθ2) होता है।
27	बोर के परमाणु मॉडल (Bohr's atomic model) के अनुसार हाइड्रोजन सदृश परमाणु में nवीं कक्षा की त्रिज्या (rn), इलेक्ट्रॉन का वेग (vn) और कुल ऊर्जा (En) का अनुपात क्या है?	त्रिज्या rn = 0.529 (n²/Z) Å, वेग vn = 2.18×10⁶ (Z/n) m/s और कुल ऊर्जा En = -13.6 (Z²/n²) eV होती है; साथ ही कक्षा में गतिज ऊर्जा K = -E और स्थितिज ऊर्जा U = 2E होती है।
28	प्रायिकता (Probability) में बेज प्रमेय (Bayes' Theorem) का सूत्र क्या है?	यदि E1, E2, ..., En प्रतिदर्श समष्टि S का विभाजन करते हैं और घटना A घटित हो चुकी है, तो घटना Ei की पश्च प्रायिकता P(Ei \| A) = [P(Ei) · P(A \| Ei)] / [Σ P(Ek) · P(A \| Ek)] होती है।
29	द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) में (1 + x)^n के प्रसार में सभी द्विपद गुणांकों का योग और सम-विषम स्थानों के गुणांकों का योग क्या होता है?	सभी द्विपद गुणांकों का योग C0 + C1 + C2 + ... + Cn = 2^n होता है, तथा सम और विषम द्विपद गुणांकों का योग बराबर होता है: C0 + C2 + C4 + ... = C1 + C3 + C5 + ... = 2^(n-1)।
30	सदिश बीजगणित (Vector Algebra) में तीन सदिशों a, b, c के अदिश त्रिक गुणनफल (scalar triple product [a b c]) और सदिश त्रिक गुणनफल (vector triple product a × (b × c)) का सूत्र क्या है?	अदिश त्रिक गुणनफल [a b c] = a · (b × c) समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन देता है (समतलीय सदिशों के लिए शून्य), जबकि सदिश त्रिक गुणनफल a × (b × c) = (a · c)b - (a · b)c होता है।
31	संधारित्र (capacitor) की प्लेटों के बीच परावैद्युतांक K (dielectric constant K) की पट्टिका पूर्णतः भरने पर धारिता, विभवांतर और संचित ऊर्जा पर क्या प्रभाव पड़ता है (जब बैटरी हटा दी गई हो)?	बैटरी हटाने पर आवेश Q नियत रहता है, धारिता C' = KC हो जाती है, विद्युत क्षेत्र E' = E/K, विभवांतर V' = V/K और संचित स्थिरवैद्युत ऊर्जा U' = U/K (घटकर 1/K गुनी) हो जाती है।
32	यंग के द्वि-झिरी प्रयोग (Young's Double Slit Experiment - YDSE) में फ्रिंज चौड़ाई (fringe width β) का सूत्र क्या है और एक झिरी के सामने t मोटाई व μ अपवर्तनांक की पट्टिका रखने पर फ्रिंज पैटर्न कितना विस्थापित होता है?	फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d होती है; पट्टिका रखने पर संपूर्ण फ्रिंज पैटर्न पट्टिका वाली झिरी की ओर Δy = (μ - 1)t·D / d = (μ - 1)t·β / λ दूरी से विस्थापित हो जाता है, जबकि फ्रिंज चौड़ाई अपरिवर्तित रहती है।