Co mówią trzy zasady Newtona w układzie inercjalnym i czym jest para akcji i reakcji?

Zerowa siła wypadkowa oznacza stałą prędkość. Dla cząstki o stałej masie zachodzi wektorowo ΣF = dp/dt = ma. Dla oddziaływania A z B mamy F_AonB = −F_BonA. Te równe i przeciwnie skierowane siły działają na różne ciała. Ciężar i siła normalna działające na tę samą książkę nie są parą akcji i reakcji.

Czym są pęd i popęd siły oraz dlaczego odróżnia się średnią i maksymalną siłę zderzenia?

Dla stałej masy zachodzą relacje wektorowe p = mv i J = ∫F_net dt = Δp = F_avg Δt. Składowa popędu jest polem ze znakiem pod odpowiednim wykresem siła–czas. Przy ustalonym Δp wydłużenie zderzenia zmniejsza wartość średniej siły wypadkowej. Siła szczytowa zależy też od przebiegu czasowego i nie wynika z samej średniej.

Z jakiej minimalnej wysokości trzeba puścić cząstkę, by prześlizgnęła się po wewnętrznej pionowej pętli bez utraty kontaktu?

Na kołowym torze bez tarcia o promieniu R cząstka puszczona ze spoczynku z wysokości h nad dołem potrzebuje na szczycie v_top² ≥ gR. Energia daje mgh = mg(2R) + ½mv_top², więc h_min = 5R/2. Zakłada się ślizganie bez energii obrotowej, jednorodną grawitację i brak mocowania mogącego przyciągać cząstkę do toru.

Dlaczego orbita Keplera zakreśla równe pola w równych czasach?

Siła grawitacji skierowana ku nieruchomej masie centralnej ma zerowy moment względem środka, więc orbitalny moment pędu L jest zachowany. Prędkość polowa to dA/dt = L/(2m), z wartością L. Na elipsie szybkość jest największa w perycentrum i najmniejsza w apocentrum; tam prędkość jest poprzeczna do promienia, więc rp vp = ra va.

Jak jednowymiarowa krzywa energii potencjalnej opisuje siłę, równowagę i punkty zwrotne?

Fx = −dU/dx i ΔU = −∫Fx dx. Równowaga wymaga U′ = 0. W takim punkcie U″ > 0 daje równowagę trwałą, a U″ < 0 nietrwałą; samo U″ = 0 nie rozstrzyga. Lokalnie stały potencjał daje równowagę obojętną. W punkcie zwrotnym K = 0 i E = U, ale nie każdy punkt z E = U musi oznaczać odwrócenie ruchu.

Jak zachowanie pędu wiąże się z rodzajami zderzeń?

Całkowity pęd jest stały przy zerowej wypadkowej sił zewnętrznych; w krótkim zderzeniu wystarcza pomijalny zewnętrzny popęd. Zderzenia sprężyste zachowują energię kinetyczną. Niesprężyste dyssypacyjne ją zmniejszają; supersprężyste zwiększają ją przez uwolnienie energii wewnętrznej. W modelu punktowym ciała po zderzeniu doskonale niesprężystym mają wspólną prędkość końcową, minimalizując końcową energię translacji dla danych mas i całkowitego pędu.

Gdzie szybkość spadającego klocka jest największa podczas ściskania idealnej pionowej sprężyny?

Masa m zostaje puszczona ze spoczynku z wysokości h ≥ 0 nad nieodkształconą nieważką sprężyną o sztywności k; pomija się opór i dyssypację. Przy ściśnięciu y dodatnim w dół a = g − ky/m, więc maksimum szybkości jest przy y = mg/k. Z mg(h + y) = ½mv² + ½ky² otrzymujemy v_max = √(2gh + mg²/k). Maksimum następuje po pierwszym kontakcie, w liniowym zakresie sprężyny.

Jak definiuje się pracę i co mówi twierdzenie o pracy i energii kinetycznej?

Dla stałej siły W = F·Δr = Fd cosθ. Ogólnie W = ∫F·dr wzdłuż toru; w jednym wymiarze jest to ∫Fx dx, pole ze znakiem na wykresie siła–położenie. Dla cząstki newtonowskiej o stałej masie W_net = ΔK = ½m(vf² − vi²). Pracę mierzy się w dżulach: 1 J = 1 N·m.

Co zachodzi w jednowymiarowym zderzeniu sprężystym z nieruchomym celem?

Przy pomijalnym zewnętrznym popędzie i prędkości początkowej v0 > 0 masy m1: v1f = ((m1 − m2)/(m1 + m2))v0 i v2f = (2m1/(m1 + m2))v0. Równe masy wymieniają prędkości. Dla m1 ≪ m2 mamy v1f ≈ −v0 i v2f ≈ 0; dla m1 ≫ m2 mamy v1f ≈ v0 i v2f ≈ 2v0.

Jak wskazanie wagi w windzie zależy od przyspieszenia pionowego?

Przy kierunku w górę dodatnim pasażer o przyspieszeniu ay takim jak winda, poddany tylko ciężarowi i sile wagi, ma N = m(g + ay). Zatem ay = 0 daje N = mg, ay > 0 daje N > mg, a −g < ay < 0 daje N < mg. W spadku swobodnym N = 0. Model kontaktu wymaga N ≥ 0 i nie może przewidywać ujemnej siły normalnej.

Czym są średnia i chwilowa moc mechaniczna?

Średnia moc dla pracy W w czasie Δt to P_avg = W/Δt. Moc chwilowa wynosi P = dW/dt. Dla siły na cząstkę o prędkości v mamy P = F·v = Fv cosθ. Moc mierzy tempo przekazywania energii przez pracę; 1 W = 1 J/s.

Czym różnią się tarcie statyczne i kinetyczne oraz jaki jest idealny graniczny kąt spoczynku?

W prostym modelu bez poślizgu 0 ≤ fs ≤ μsN; podczas poślizgu fk = μkN przeciwdziała ruchowi względnemu. μk często jest mniejsze od μs, lecz nie jest to uniwersalna tożsamość; fk także nie jest stałe, gdy zmienia się N. Dla klocka na równi poddanego tylko ciężarowi, sile normalnej i tarciu próg poślizgu daje tanθ_max = μs.

Jak dodaje się prędkości względne i co wyznacza czas przeprawy idealnej łodzi?

W mechanice klasycznej ze wspólnymi nieobracającymi się osiami zachodzi wektorowo v_A/C = v_A/B + v_B/C. Jeśli łódź utrzymuje szybkość v_bw względem wody i jest skierowana prostopadle do równoległych brzegów, a jednorodny nurt v_wg płynie wzdłuż brzegów, pokonuje szerokość W w czasie t = W/v_bw. Zniesienie wynosi Δx = v_wg t; niezależność t od nurtu obowiązuje tylko przy tych założeniach.

Jak położenie, prędkość i przyspieszenie łączą się przez rachunek różniczkowy, całkowy i wykresy ruchu?

W jednym wymiarze v = dx/dt i a = dv/dt. Pola z uwzględnieniem znaku dają Δx = ∫v dt i Δv = ∫a dt w danym przedziale czasu. Gdy v ≠ 0, szybkość rośnie przy va > 0 i maleje przy va < 0; sam znak przyspieszenia nie rozstrzyga o wzroście szybkości.

Jak wybór bilansu energii wpływa na opis grawitacji, sprężyn i tarcia?

Model samej cząstki może uwzględniać ciężar i siłę sprężyny jako pracę: Wg + Ws + W_other = ΔK. Można też opisać ich pracę energiami oddziaływania w U i napisać Δ(K + U) = W_other, bez podwójnego liczenia. Jeśli tarcie ogrzewa ciała wewnątrz wybranego układu, uwzględnia się energię wewnętrzną: dla układu izolowanego ΔK + ΔU + ΔE_internal = 0.

Jak porusza się ciało puszczone ze spoczynku przy liniowym oporze F_drag = −bv?

Przyjmijmy dół jako kierunek dodatni, stałe m, g i b > 0 oraz pomijalny wypór. Wtedy m dv/dt = mg − bv. Prędkość graniczna to vT = mg/b, stała czasowa τ = m/b, a v(t) = vT(1 − e^(−t/τ)). Przyspieszenie wynosi a(t) = g e^(−t/τ). Zakłada się zakres stosowalności liniowego oporu.

Jakie są prawo Hooke'a, energia sprężyny i sztywności idealnych układów sprężyn?

Dla przemieszczenia x od położenia nieodkształconego Fs = −kx i Us = ½kx², przy Us(0) = 0. Us wzrasta o pracę przeciw sprężynie, nie o pole ze znakiem pod Fs. Dla nieważkich sprężyn liniowych jednakowe wydłużenia równolegle dają k_eq = k1 + k2; jednakowe siły szeregowo dają 1/k_eq = 1/k1 + 1/k2.

Jak linearyzacja pozwala wyznaczyć stałą fizyczną z dopasowanego nachylenia?

Dla wahadła matematycznego przy małych kątach T² = (4π²/g)L. Wykres T² względem L ma idealne nachylenie S, dające g = 4π²/S. S szacuje się przez dopasowanie; na wykresie wybiera się odległe punkty na dopasowanej prostej. Idealny wyraz wolny jest zerowy, ale nie należy bez uzasadnienia wymuszać przejścia danych przez początek układu. Przy stałym przyspieszeniu ze spoczynku wykres v² względem Δx ma nachylenie 2a.

Jakie idealne szybkości dotyczą płaskiego zakrętu ograniczonego tarciem i nachylonego zakrętu bez tarcia?

Dla samochodu jako punktu materialnego w jednostajnym ruchu po okręgu o promieniu R, bez innych sił poziomych, płaska droga daje v_max = √(μs gR). Przy nachyleniu θ nad poziomem bez tarcia N sinθ = mv²/R i N cosθ = mg, więc v = √(gR tanθ). Są to idealne modele kontaktu opony, nie uniwersalne drogowe limity szybkości.

Jakie energie ma satelita na orbicie kołowej i jak zmieniają się między orbitami kołowymi?

Dla m ≪ M poza nieruchomym sferycznie symetrycznym ciałem centralnym, przy U(∞) = 0: U = −GMm/r, K = GMm/(2r) i E = −GMm/(2r). Porównując orbity kołowe, większe r daje większe U i E, lecz mniejsze K i szybkość. Podniesienie końcowej orbity kołowej wymaga dopływu energii netto; to porównanie nie opisuje zmiany szybkości w każdej chwili manewru.

Jaka jest siła kontaktowa między sąsiednimi klockami pchanymi po stole bez tarcia?

Niech m1 będzie lewym, m2 prawym klockiem, a F > 0 pcha m1 w prawo. Oba mają a = F/(m1 + m2). Jedyną siłą poziomą na m2 jest siła kontaktowa: F_1on2 = m2F/(m1 + m2), w prawo. Siła m2 na m1 jest równa i przeciwna. Pchanie z drugiej strony zamienia czynnik masowy.

Jakie siły i przyspieszenie dotyczą klocka zsuwającego się po nieruchomej szorstkiej równi?

Przy kącie θ nad poziomem składowe ciężaru to mg sinθ w dół równi i mg cosθ w głąb równi. Bez innej przyłożonej siły i bez przyspieszenia normalnego N = mg cosθ. W modelu tarcia kinetycznego fk = μkN działa w górę równi. Przy dodatnim kierunku w dół a = g(sinθ − μk cosθ), dopóki klocek zsuwa się w dół; a może być ujemne.

Jak energia kinetyczna wiąże się z wartością pędu cząstki nierelatywistycznej?

Dla m > 0: K = p²/(2m) i p = √(2mK), gdzie p jest wartością pędu. Przy tej samej K wózek o masie 4m ma dwukrotnie większe p niż wózek o masie m. Przy tym samym p wózek o masie m ma czterokrotnie większą energię kinetyczną niż ten o masie 4m.

Jakie jest pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej pełnej kuli?

Dla masy M, promienia R i odległości r od środka pole przy r > 0 jest skierowane do środka. Jego wartość to g(r) = GM/r² dla r ≥ R i g(r) = GMr/R³ dla 0 ≤ r 0; g(0) = 0. Sferycznie symetryczna pusta powłoka wytwarza zerowe własne pole w pustej wnęce, ale nie ekranuje pól innych mas.

Jak ruch środka masy wiąże się z całkowitym pędem?

Dla ustalonego zbioru stałych mas o łącznej masie M zachodzą wektorowo r_cm = Σmi ri/M i v_cm = Σmi vi/M = P_total/M. W mechanice newtonowskiej, gdy siły wewnętrzne się znoszą, F_ext,net = M a_cm. Jeśli wypadkowa zewnętrzna jest zerowa, v_cm pozostaje stała nawet podczas wewnętrznych zderzeń lub wybuchów; nie każda pojedyncza siła zewnętrzna musi znikać.

Jakie są własności w najwyższym punkcie, czas lotu, wysokość i zasięg idealnego rzutu z powrotem na wysokość startu?

Przy jednorodnym g skierowanym w dół, bez oporu powietrza, z szybkością początkową v0 i kątem 0 < θ < 90°, na szczycie vx = v0 cosθ, vy = 0, ax = 0 i ay = −g. Powrót na wysokość startu zajmuje T = 2v0 sinθ/g. Wysokość nad startem wynosi H = v0² sin²θ/(2g), a zasięg R = v0² sin(2θ)/g. Przy ustalonym v0 zasięg jest największy dla 45°; kąty dopełniające dają jednakowy zasięg.

Jak rozwiązuje się idealne wahadło balistyczne w dwóch etapach?

Pocisk o masie m, lecący poziomo, wbija się w początkowo nieruchomą masę wahadła M. Przy pomijalnym zewnętrznym popędzie poziomym mv0 = (m + M)v_after. Całość modeluje się jako cząstkę w jednorodnej grawitacji g i pomija straty podczas wahnięcia: ½(m + M)v_after² = (m + M)gh, gdzie h jest wzniesieniem. Stąd v0 = ((m + M)/m)√(2gh). Energia kinetyczna nie jest zachowana podczas wbijania się pocisku.

Jak łączą się grawitacja, szybkość na orbicie kołowej, okres i szybkość ucieczki poza sferycznie symetrycznym ciałem centralnym?

Dla masy próbnej m ≪ M poza izolowaną sferycznie symetryczną masą M: F = GMm/r² i g = GM/r². Orbity kołowe mają v_orb = √(GM/r) i T² = 4π²r³/(GM). Ucieczka od promienia R pod działaniem samej grawitacji wymaga v_esc = √(2GM/R), czyli √2 razy szybkości kołowej przy tym samym promieniu. Pomija się opór atmosfery i obrót źródła.

Jakie cztery równania opisują ruch jednowymiarowy ze stałym przyspieszeniem?

Dla czasu t, przemieszczenia ze znakiem Δx, prędkości początkowej v0 i stałego przyspieszenia a: v = v0 + at; Δx = v0t + ½at²; v² = v0² + 2aΔx; Δx = ½(v0 + v)t. Kolejno nie występują w nich Δx, v, t i a.

Jak rozpisuje się zachowanie pędu na składowe w dwuwymiarowym zderzeniu ukośnym?

Niech m1 początkowo porusza się wzdłuż +x z szybkością v1i, m2 spoczywa, a zewnętrzny popęd jest pomijalny. Dla końcowych szybkości v1f i v2f pod kątami θ1 powyżej i θ2 poniżej +x: m1v1i = m1v1f cosθ1 + m2v2f cosθ2 oraz 0 = m1v1f sinθ1 − m2v2f sinθ2. Te równania nie wymagają sprężystego zderzenia.

Jakie są przyspieszenie i napięcie nici w idealnej maszynie Atwooda z m2 > m1 > 0?

Dla nieważkiej nierozciągliwej nici, nieważkiego krążka bez tarcia i jednorodnej grawitacji a = (m2 − m1)g/(m1 + m2): m2 przyspiesza w dół, a m1 w górę. Napięcie wynosi T = 2m1m2g/(m1 + m2), więc m1g < T < m2g.

Czym jest przyspieszenie dośrodkowe i jaka szybkość utrzymuje nieprzytrzymywaną cząstkę w kontakcie na szczycie wewnętrznej pętli?

Przyspieszenie radialne do środka wynosi ac = v²/r = ω²r. „Siła dośrodkowa” oznacza wypadkową do środka, nie dodatkowe oddziaływanie. Na szczycie wewnętrznego toru kołowego o promieniu R: N + mg = mv²/R. Warunek N ≥ 0 daje v_min = √(gR). Ciężar i siła normalna toru są tu jedynymi siłami radialnymi.

Mechanika: ruch, siły, energia, pęd i grawitacja

32 fiszki powtórkowe z mechaniki wykorzystujące algebrę oraz rachunek różniczkowy i całkowy: ruch, siły, praca i energia, zderzenia, grawitacja i wykresy doświadczalne. Wymagana znajomość algebry, trygonometrii, wektorów i podstaw analizy matematycznej.

Level: intermediate
Languages: pl → pl
Cards: 32
Markdown: Mechanika: ruch, siły, energia, pęd i grawitacja (.md)

Flashcards (32)

#	Front (Term / Question)	Back (Definition / Answer)
1	Co mówią trzy zasady Newtona w układzie inercjalnym i czym jest para akcji i reakcji?	Zerowa siła wypadkowa oznacza stałą prędkość. Dla cząstki o stałej masie zachodzi wektorowo ΣF = dp/dt = ma. Dla oddziaływania A z B mamy F_AonB = −F_BonA. Te równe i przeciwnie skierowane siły działają na różne ciała. Ciężar i siła normalna działające na tę samą książkę nie są parą akcji i reakcji.
2	Czym są pęd i popęd siły oraz dlaczego odróżnia się średnią i maksymalną siłę zderzenia?	Dla stałej masy zachodzą relacje wektorowe p = mv i J = ∫F_net dt = Δp = F_avg Δt. Składowa popędu jest polem ze znakiem pod odpowiednim wykresem siła–czas. Przy ustalonym Δp wydłużenie zderzenia zmniejsza wartość średniej siły wypadkowej. Siła szczytowa zależy też od przebiegu czasowego i nie wynika z samej średniej.
3	Z jakiej minimalnej wysokości trzeba puścić cząstkę, by prześlizgnęła się po wewnętrznej pionowej pętli bez utraty kontaktu?	Na kołowym torze bez tarcia o promieniu R cząstka puszczona ze spoczynku z wysokości h nad dołem potrzebuje na szczycie v_top² ≥ gR. Energia daje mgh = mg(2R) + ½mv_top², więc h_min = 5R/2. Zakłada się ślizganie bez energii obrotowej, jednorodną grawitację i brak mocowania mogącego przyciągać cząstkę do toru.
4	Dlaczego orbita Keplera zakreśla równe pola w równych czasach?	Siła grawitacji skierowana ku nieruchomej masie centralnej ma zerowy moment względem środka, więc orbitalny moment pędu L jest zachowany. Prędkość polowa to dA/dt = L/(2m), z wartością L. Na elipsie szybkość jest największa w perycentrum i najmniejsza w apocentrum; tam prędkość jest poprzeczna do promienia, więc rp vp = ra va.
5	Jak jednowymiarowa krzywa energii potencjalnej opisuje siłę, równowagę i punkty zwrotne?	Fx = −dU/dx i ΔU = −∫Fx dx. Równowaga wymaga U′ = 0. W takim punkcie U″ > 0 daje równowagę trwałą, a U″ < 0 nietrwałą; samo U″ = 0 nie rozstrzyga. Lokalnie stały potencjał daje równowagę obojętną. W punkcie zwrotnym K = 0 i E = U, ale nie każdy punkt z E = U musi oznaczać odwrócenie ruchu.
6	Jak zachowanie pędu wiąże się z rodzajami zderzeń?	Całkowity pęd jest stały przy zerowej wypadkowej sił zewnętrznych; w krótkim zderzeniu wystarcza pomijalny zewnętrzny popęd. Zderzenia sprężyste zachowują energię kinetyczną. Niesprężyste dyssypacyjne ją zmniejszają; supersprężyste zwiększają ją przez uwolnienie energii wewnętrznej. W modelu punktowym ciała po zderzeniu doskonale niesprężystym mają wspólną prędkość końcową, minimalizując końcową energię translacji dla danych mas i całkowitego pędu.
7	Gdzie szybkość spadającego klocka jest największa podczas ściskania idealnej pionowej sprężyny?	Masa m zostaje puszczona ze spoczynku z wysokości h ≥ 0 nad nieodkształconą nieważką sprężyną o sztywności k; pomija się opór i dyssypację. Przy ściśnięciu y dodatnim w dół a = g − ky/m, więc maksimum szybkości jest przy y = mg/k. Z mg(h + y) = ½mv² + ½ky² otrzymujemy v_max = √(2gh + mg²/k). Maksimum następuje po pierwszym kontakcie, w liniowym zakresie sprężyny.
8	Jak definiuje się pracę i co mówi twierdzenie o pracy i energii kinetycznej?	Dla stałej siły W = F·Δr = Fd cosθ. Ogólnie W = ∫F·dr wzdłuż toru; w jednym wymiarze jest to ∫Fx dx, pole ze znakiem na wykresie siła–położenie. Dla cząstki newtonowskiej o stałej masie W_net = ΔK = ½m(vf² − vi²). Pracę mierzy się w dżulach: 1 J = 1 N·m.
9	Co zachodzi w jednowymiarowym zderzeniu sprężystym z nieruchomym celem?	Przy pomijalnym zewnętrznym popędzie i prędkości początkowej v0 > 0 masy m1: v1f = ((m1 − m2)/(m1 + m2))v0 i v2f = (2m1/(m1 + m2))v0. Równe masy wymieniają prędkości. Dla m1 ≪ m2 mamy v1f ≈ −v0 i v2f ≈ 0; dla m1 ≫ m2 mamy v1f ≈ v0 i v2f ≈ 2v0.
10	Jak wskazanie wagi w windzie zależy od przyspieszenia pionowego?	Przy kierunku w górę dodatnim pasażer o przyspieszeniu ay takim jak winda, poddany tylko ciężarowi i sile wagi, ma N = m(g + ay). Zatem ay = 0 daje N = mg, ay > 0 daje N > mg, a −g < ay < 0 daje N < mg. W spadku swobodnym N = 0. Model kontaktu wymaga N ≥ 0 i nie może przewidywać ujemnej siły normalnej.
11	Czym są średnia i chwilowa moc mechaniczna?	Średnia moc dla pracy W w czasie Δt to P_avg = W/Δt. Moc chwilowa wynosi P = dW/dt. Dla siły na cząstkę o prędkości v mamy P = F·v = Fv cosθ. Moc mierzy tempo przekazywania energii przez pracę; 1 W = 1 J/s.
12	Czym różnią się tarcie statyczne i kinetyczne oraz jaki jest idealny graniczny kąt spoczynku?	W prostym modelu bez poślizgu 0 ≤ fs ≤ μsN; podczas poślizgu fk = μkN przeciwdziała ruchowi względnemu. μk często jest mniejsze od μs, lecz nie jest to uniwersalna tożsamość; fk także nie jest stałe, gdy zmienia się N. Dla klocka na równi poddanego tylko ciężarowi, sile normalnej i tarciu próg poślizgu daje tanθ_max = μs.
13	Jak dodaje się prędkości względne i co wyznacza czas przeprawy idealnej łodzi?	W mechanice klasycznej ze wspólnymi nieobracającymi się osiami zachodzi wektorowo v_A/C = v_A/B + v_B/C. Jeśli łódź utrzymuje szybkość v_bw względem wody i jest skierowana prostopadle do równoległych brzegów, a jednorodny nurt v_wg płynie wzdłuż brzegów, pokonuje szerokość W w czasie t = W/v_bw. Zniesienie wynosi Δx = v_wg t; niezależność t od nurtu obowiązuje tylko przy tych założeniach.
14	Jak położenie, prędkość i przyspieszenie łączą się przez rachunek różniczkowy, całkowy i wykresy ruchu?	W jednym wymiarze v = dx/dt i a = dv/dt. Pola z uwzględnieniem znaku dają Δx = ∫v dt i Δv = ∫a dt w danym przedziale czasu. Gdy v ≠ 0, szybkość rośnie przy va > 0 i maleje przy va < 0; sam znak przyspieszenia nie rozstrzyga o wzroście szybkości.
15	Jak wybór bilansu energii wpływa na opis grawitacji, sprężyn i tarcia?	Model samej cząstki może uwzględniać ciężar i siłę sprężyny jako pracę: Wg + Ws + W_other = ΔK. Można też opisać ich pracę energiami oddziaływania w U i napisać Δ(K + U) = W_other, bez podwójnego liczenia. Jeśli tarcie ogrzewa ciała wewnątrz wybranego układu, uwzględnia się energię wewnętrzną: dla układu izolowanego ΔK + ΔU + ΔE_internal = 0.
16	Jak porusza się ciało puszczone ze spoczynku przy liniowym oporze F_drag = −bv?	Przyjmijmy dół jako kierunek dodatni, stałe m, g i b > 0 oraz pomijalny wypór. Wtedy m dv/dt = mg − bv. Prędkość graniczna to vT = mg/b, stała czasowa τ = m/b, a v(t) = vT(1 − e^(−t/τ)). Przyspieszenie wynosi a(t) = g e^(−t/τ). Zakłada się zakres stosowalności liniowego oporu.
17	Jakie są prawo Hooke'a, energia sprężyny i sztywności idealnych układów sprężyn?	Dla przemieszczenia x od położenia nieodkształconego Fs = −kx i Us = ½kx², przy Us(0) = 0. Us wzrasta o pracę przeciw sprężynie, nie o pole ze znakiem pod Fs. Dla nieważkich sprężyn liniowych jednakowe wydłużenia równolegle dają k_eq = k1 + k2; jednakowe siły szeregowo dają 1/k_eq = 1/k1 + 1/k2.
18	Jak linearyzacja pozwala wyznaczyć stałą fizyczną z dopasowanego nachylenia?	Dla wahadła matematycznego przy małych kątach T² = (4π²/g)L. Wykres T² względem L ma idealne nachylenie S, dające g = 4π²/S. S szacuje się przez dopasowanie; na wykresie wybiera się odległe punkty na dopasowanej prostej. Idealny wyraz wolny jest zerowy, ale nie należy bez uzasadnienia wymuszać przejścia danych przez początek układu. Przy stałym przyspieszeniu ze spoczynku wykres v² względem Δx ma nachylenie 2a.
19	Jakie idealne szybkości dotyczą płaskiego zakrętu ograniczonego tarciem i nachylonego zakrętu bez tarcia?	Dla samochodu jako punktu materialnego w jednostajnym ruchu po okręgu o promieniu R, bez innych sił poziomych, płaska droga daje v_max = √(μs gR). Przy nachyleniu θ nad poziomem bez tarcia N sinθ = mv²/R i N cosθ = mg, więc v = √(gR tanθ). Są to idealne modele kontaktu opony, nie uniwersalne drogowe limity szybkości.
20	Jakie energie ma satelita na orbicie kołowej i jak zmieniają się między orbitami kołowymi?	Dla m ≪ M poza nieruchomym sferycznie symetrycznym ciałem centralnym, przy U(∞) = 0: U = −GMm/r, K = GMm/(2r) i E = −GMm/(2r). Porównując orbity kołowe, większe r daje większe U i E, lecz mniejsze K i szybkość. Podniesienie końcowej orbity kołowej wymaga dopływu energii netto; to porównanie nie opisuje zmiany szybkości w każdej chwili manewru.
21	Jaka jest siła kontaktowa między sąsiednimi klockami pchanymi po stole bez tarcia?	Niech m1 będzie lewym, m2 prawym klockiem, a F > 0 pcha m1 w prawo. Oba mają a = F/(m1 + m2). Jedyną siłą poziomą na m2 jest siła kontaktowa: F_1on2 = m2F/(m1 + m2), w prawo. Siła m2 na m1 jest równa i przeciwna. Pchanie z drugiej strony zamienia czynnik masowy.
22	Jakie siły i przyspieszenie dotyczą klocka zsuwającego się po nieruchomej szorstkiej równi?	Przy kącie θ nad poziomem składowe ciężaru to mg sinθ w dół równi i mg cosθ w głąb równi. Bez innej przyłożonej siły i bez przyspieszenia normalnego N = mg cosθ. W modelu tarcia kinetycznego fk = μkN działa w górę równi. Przy dodatnim kierunku w dół a = g(sinθ − μk cosθ), dopóki klocek zsuwa się w dół; a może być ujemne.
23	Jak energia kinetyczna wiąże się z wartością pędu cząstki nierelatywistycznej?	Dla m > 0: K = p²/(2m) i p = √(2mK), gdzie p jest wartością pędu. Przy tej samej K wózek o masie 4m ma dwukrotnie większe p niż wózek o masie m. Przy tym samym p wózek o masie m ma czterokrotnie większą energię kinetyczną niż ten o masie 4m.
24	Jakie jest pole grawitacyjne wewnątrz i na zewnątrz jednorodnej pełnej kuli?	Dla masy M, promienia R i odległości r od środka pole przy r > 0 jest skierowane do środka. Jego wartość to g(r) = GM/r² dla r ≥ R i g(r) = GMr/R³ dla 0 ≤ r < R. Wewnątrz M_enclosed = M(r/R)³ i g = GM_enclosed/r² dla r > 0; g(0) = 0. Sferycznie symetryczna pusta powłoka wytwarza zerowe własne pole w pustej wnęce, ale nie ekranuje pól innych mas.
25	Jak ruch środka masy wiąże się z całkowitym pędem?	Dla ustalonego zbioru stałych mas o łącznej masie M zachodzą wektorowo r_cm = Σmi ri/M i v_cm = Σmi vi/M = P_total/M. W mechanice newtonowskiej, gdy siły wewnętrzne się znoszą, F_ext,net = M a_cm. Jeśli wypadkowa zewnętrzna jest zerowa, v_cm pozostaje stała nawet podczas wewnętrznych zderzeń lub wybuchów; nie każda pojedyncza siła zewnętrzna musi znikać.
26	Jakie są własności w najwyższym punkcie, czas lotu, wysokość i zasięg idealnego rzutu z powrotem na wysokość startu?	Przy jednorodnym g skierowanym w dół, bez oporu powietrza, z szybkością początkową v0 i kątem 0 < θ < 90°, na szczycie vx = v0 cosθ, vy = 0, ax = 0 i ay = −g. Powrót na wysokość startu zajmuje T = 2v0 sinθ/g. Wysokość nad startem wynosi H = v0² sin²θ/(2g), a zasięg R = v0² sin(2θ)/g. Przy ustalonym v0 zasięg jest największy dla 45°; kąty dopełniające dają jednakowy zasięg.
27	Jak rozwiązuje się idealne wahadło balistyczne w dwóch etapach?	Pocisk o masie m, lecący poziomo, wbija się w początkowo nieruchomą masę wahadła M. Przy pomijalnym zewnętrznym popędzie poziomym mv0 = (m + M)v_after. Całość modeluje się jako cząstkę w jednorodnej grawitacji g i pomija straty podczas wahnięcia: ½(m + M)v_after² = (m + M)gh, gdzie h jest wzniesieniem. Stąd v0 = ((m + M)/m)√(2gh). Energia kinetyczna nie jest zachowana podczas wbijania się pocisku.
28	Jak łączą się grawitacja, szybkość na orbicie kołowej, okres i szybkość ucieczki poza sferycznie symetrycznym ciałem centralnym?	Dla masy próbnej m ≪ M poza izolowaną sferycznie symetryczną masą M: F = GMm/r² i g = GM/r². Orbity kołowe mają v_orb = √(GM/r) i T² = 4π²r³/(GM). Ucieczka od promienia R pod działaniem samej grawitacji wymaga v_esc = √(2GM/R), czyli √2 razy szybkości kołowej przy tym samym promieniu. Pomija się opór atmosfery i obrót źródła.
29	Jakie cztery równania opisują ruch jednowymiarowy ze stałym przyspieszeniem?	Dla czasu t, przemieszczenia ze znakiem Δx, prędkości początkowej v0 i stałego przyspieszenia a: v = v0 + at; Δx = v0t + ½at²; v² = v0² + 2aΔx; Δx = ½(v0 + v)t. Kolejno nie występują w nich Δx, v, t i a.
30	Jak rozpisuje się zachowanie pędu na składowe w dwuwymiarowym zderzeniu ukośnym?	Niech m1 początkowo porusza się wzdłuż +x z szybkością v1i, m2 spoczywa, a zewnętrzny popęd jest pomijalny. Dla końcowych szybkości v1f i v2f pod kątami θ1 powyżej i θ2 poniżej +x: m1v1i = m1v1f cosθ1 + m2v2f cosθ2 oraz 0 = m1v1f sinθ1 − m2v2f sinθ2. Te równania nie wymagają sprężystego zderzenia.
31	Jakie są przyspieszenie i napięcie nici w idealnej maszynie Atwooda z m2 > m1 > 0?	Dla nieważkiej nierozciągliwej nici, nieważkiego krążka bez tarcia i jednorodnej grawitacji a = (m2 − m1)g/(m1 + m2): m2 przyspiesza w dół, a m1 w górę. Napięcie wynosi T = 2m1m2g/(m1 + m2), więc m1g < T < m2g.
32	Czym jest przyspieszenie dośrodkowe i jaka szybkość utrzymuje nieprzytrzymywaną cząstkę w kontakcie na szczycie wewnętrznej pętli?	Przyspieszenie radialne do środka wynosi ac = v²/r = ω²r. „Siła dośrodkowa” oznacza wypadkową do środka, nie dodatkowe oddziaływanie. Na szczycie wewnętrznego toru kołowego o promieniu R: N + mg = mv²/R. Warunek N ≥ 0 daje v_min = √(gR). Ciężar i siła normalna toru są tu jedynymi siłami radialnymi.