# Concours CRPE Mathématiques & Sélection IFSI (FPC) — Arithmétique, Géométrie, Probabilités et Calculs de Doses Infirmiers

> Exercices fondamentaux et problèmes résolus pour l'épreuve écrite de mathématiques du CRPE (arithmétique, géométrie plane et dans l'espace, probabilités, algorithmique Scratch, typologie de Vergnaud) et la sous-épreuve de calculs médico-pharmaceutiques de la sélection IFSI (voie FPC).

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- **Level:** basic
- **Languages:** fr → fr
- **Total Cards:** 32

## Flashcards (32 Cards)

| # | Front (Term / Prompt) | Back (Definition / Answer) | Example | Multiple-Choice Options |
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| 1 | Deux engrenages comptent respectivement $84$ dents et $126$ dents. Quel est leur $\text{PGCD}(84, 126)$, leur $\text{PPCM}(84, 126)$ et combien de tours complets chacun doit-il effectuer au minimum pour revenir simultanément à sa position initiale ? | $\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = 252$ ; le premier engrenage effectue $3$ tours et le second $2$ tours — $\text{PGCD}(84, 126) = 42$ et $\text{PPCM}(84, 126) = \frac{84 \times 126}{42} = 252$ dents ; le premier engrenage fait $252 / 84 = 3$ tours et le second $252 / 126 = 2$ tours. |  |  |
| 2 | Dans un plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points $A(1 ; 2)$ et $B(5 ; -1)$. Quelle est la distance $AB$ et quelle est l'équation réduite de la droite $(AB)$ ? | $AB = 5$ et $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$ — $AB = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$ et l'équation réduite de $(AB)$ est $y = -\frac{3}{4}x + \frac{11}{4}$. |  |  |
| 3 | Un script Scratch initialise `x` à `3` et `y` à `2`, puis exécute : « Répéter 3 fois : [Mettre `x` à `x + y` ; Mettre `y` à `2 * y`] ». Quelles sont les valeurs finales de `x` et de `y` ? | `x = 17` et `y = 16`. |  |  |
| 4 | Un patient de $70\text{ kg}$ en soins critiques reçoit de la dobutamine au PSE à la posologie de $5\text{ }\mu\text{g/kg/min}$. La seringue de $50\text{ mL}$ contient $250\text{ mg}$ de dobutamine. À quelle vitesse (en $\text{mL/h}$) doit être réglé le pousse-seringue électrique ? | $4{,}2\text{ mL/h}$. |  |  |
| 5 | Quelle masse de chlorure de sodium ($\text{NaCl}$, en grammes) et de glucose (en grammes) contiennent respectivement un flacon de $500\text{ mL}$ de sérum physiologique ($\text{NaCl } 0{,}9\%$) et une poche de $1\,000\text{ mL}$ de soluté glucosé isotonique ($\text{G5\%}$) ? | $4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ dans $500\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ et $50\text{ g}$ de glucose dans $1\,000\text{ mL}$ de $\text{G5\%}$ — $4{,}5\text{ g}$ de $\text{NaCl}$ et $50\text{ g}$ de glucose. |  |  |
| 6 | Selon la classification de Gérard Vergnaud pour le champ conceptuel des structures multiplicatives, quelles sont les trois grandes catégories de problèmes multiplicatifs à une seule relation de proportionnalité simple ? | 1. Multiplication (recherche de la valeur totale pour $n$ parts connaissant la valeur d'une part) ; 2. Division-partition (recherche de la valeur d'une part connaissant le total et le nombre de parts) ; 3. Division-quotition (recherche du nombre de parts connaissant le total et la valeur d'une part) — Dans un tableau de proportionnalité simple avec présence de l'unité, Vergnaud distingue : la multiplication, la division-partition (partage équitable : recherche de la valeur d'une part) et la division-quotition (groupement : recherche du nombre de parts). |  |  |
| 7 | Un capital de $10\,000\text{ €}$ est placé à intérêts composés au taux annuel de $4\%$. Quelle est sa valeur acquise au bout de $2$ ans, et de combien dépasse-t-elle la valeur acquise à intérêts simples au même taux sur $2$ ans ? | Valeur acquise à intérêts composés : $10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus qu'à intérêts simples ($10\,800\text{ €}$) — $C_2 = 10\,000 \times (1{,}04)^2 = 10\,816\text{ €}$, soit $16\text{ €}$ de plus que la valeur acquise à intérêts simples ($10\,000 \times (1 + 2 \times 0{,}04) = 10\,800\text{ €}$). |  |  |
| 8 | En didactique des mathématiques au CRPE (classification de Gérard Vergnaud pour les problèmes additifs et soustractifs), comment qualifie-t-on le problème : « Léo avait des billes. Il en gagne 12 à la récréation et en possède maintenant 31. Combien en avait-il avant la récréation ? » ? | Transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant la transformation positive ($T^+$) et l'état final ($E_f$) — Il s'agit d'un problème de transformation d'états avec recherche de l'état initial ($E_i$) connaissant une transformation positive ($+12$) et l'état final ($31$). |  |  |
| 9 | En calculs de doses infirmiers (sélection IFSI et pratique clinique), quelle est la norme réglementaire de correspondance entre millilitres ($\text{mL}$) et gouttes ($\text{gttes}$) pour un perfuseur standard de soluté aqueux et pour un transfuseur de sang ? | $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard (macro-perfuseur), $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour le sang et ses dérivés (transfuseur), et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ en pédiatrie — $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$ pour un soluté standard, $1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$ pour une transfusion sanguine (sang/culot globulaire) et $1\text{ mL} = 60\text{ microgouttes}$ pour un perfuseur de précision pédiatrique. |  |  |
| 10 | Un flacon de poudre d'antibiotique injectable de $1\text{ g}$ est reconstitué avec $4\text{ mL}$ d'eau pour préparation injectable (EPPI). On doit injecter $350\text{ mg}$ de cet antibiotique. Quel volume exact faut-il prélever (en négligeant l'expansion volumique) ? | $1{,}4\text{ mL}$ (car $1\text{ g} = 1\,000\text{ mg}$ dans $4\text{ mL}$, soit $250\text{ mg/mL}$, et $350 / 250 = 1{,}4\text{ mL}$). |  |  |
| 11 | Quelles sont les conditions d'éligibilité et la structure des épreuves de la sélection IFSI par la voie de la Formation Professionnelle Continue (FPC) ? | Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France à la date d'inscription ; réussir une épreuve orale d'entretien (20 min, notée sur 20) et une épreuve écrite d'une heure (notée sur 20 : sous-épreuve de rédaction/compréhension en français sur 10 pts + sous-épreuve de calculs simples sur 10 pts), avec un total $\ge 20/40$ sans note $< 8/20$ — Justifier de 3 ans de cotisation à un régime de protection sociale en France et valider deux épreuves (entretien oral de 20 min noté sur 20 + épreuve écrite d'une heure notée sur 20 comprenant 10 pts de français et 10 pts de calculs simples), avec au moins $20/40$ au total et aucune des deux notes inférieure à $8/20$. |  |  |
| 12 | Un test de dépistage médical concerne une maladie qui touche $1\%$ d'une population ($P(M) = 0{,}01$). La sensibilité du test est de $95\%$ ($P_M(T) = 0{,}95$) et sa spécificité est de $90\%$ ($P_{\overline{M}}(\overline{T}) = 0{,}90$). Quelle est la probabilité totale $P(T)$ que le test soit positif ? | $0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$) — $P(T) = 0{,}1085$ (soit $10{,}85\%$), d'après la formule des probabilités totales : $P(T) = P(M)P_M(T) + P(\overline{M})P_{\overline{M}}(T) = 0{,}01 \times 0{,}95 + 0{,}99 \times 0{,}10 = 0{,}0095 + 0{,}0990 = 0{,}1085$. |  |  |
| 13 | Un médecin prescrit une perfusion de $1{,}5\text{ L}$ de sérum glucosé à $5\%$ ($\text{G5\%}$) à passer en $12\text{ heures}$. Quel est le débit en $\text{mL/h}$, et quel est le débit de perfusion en $\text{gouttes/min}$ (arrondi à l'entier le plus proche, avec $1\text{ mL} = 20\text{ gouttes}$) ? | $125\text{ mL/h}$ et $42\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{1\,500\text{ mL} \times 20\text{ gttes/mL}}{12 \times 60\text{ min}} = \frac{30\,000}{720} \approx 41{,}67 \rightarrow 42\text{ gouttes/min}$). |  |  |
| 14 | On doit ajouter $4\text{ g}$ de chlorure de potassium ($\text{KCl}$) dans une poche de perfusion à partir d'ampoules de $10\text{ mL}$ dosées à $10\%$ de $\text{KCl}$. Quel volume (et combien d'ampoules) faut-il prélever ? | $40\text{ mL}$, soit $4$ ampoules de $10\text{ mL}$. |  |  |
| 15 | Au concours du CRPE (épreuve écrite de mathématiques), quelle est la décomposition en produit de facteurs premiers de $2\,520$ et quel est le nombre total de ses diviseurs positifs ? | $2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ et il possède $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48$ diviseurs positifs — $2\,520 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1$ ; le nombre de ses diviseurs positifs est $(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 4 \times 3 \times 2 \times 2 = 48$. |  |  |
| 16 | Un article subit une hausse de prix de $25\%$, suivie d'une remise promotionnelle de $20\%$. Quelle est l'évolution globale en pourcentage ? | Une évolution globale nulle ($0\%$), car le coefficient multiplicateur global vaut $1{,}25 \times 0{,}80 = 1{,}00$ — Une évolution globale nulle ($0\%$), car $CM_{\text{global}} = 1{,}25 \times 0{,}80 = \frac{5}{4} \times \frac{4}{5} = 1$. |  |  |
| 17 | Quelles sont les solutions réelles de l'équation $(2x - 3)^2 - (x + 1)^2 = 0$ ? | $x = 4$ et $x = \frac{2}{3}$, obtenues en factorisant par l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ : $((2x - 3) - (x + 1))((2x - 3) + (x + 1)) = (x - 4)(3x - 2) = 0$. |  |  |
| 18 | Dans une série statistique de notes d'élèves : $\{7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 14 ; 15 ; 19\}$, quelles sont la moyenne arithmétique $\bar{x}$, la médiane $Me$ et l'étendue $E$ ? | Moyenne $\bar{x} = 12$, médiane $Me = 12$ et étendue $E = 12$ — Moyenne $\bar{x} = \frac{108}{9} = 12$, médiane $Me = 12$ ($5^\text{e}$ valeur de la série ordonnée de $N = 9$ valeurs) et étendue $E = 19 - 7 = 12$. |  |  |
| 19 | Dans une maquette d'architecte réalisée à l'échelle $1/50$, un bassin a un volume de $160\text{ cm}^3$ sur la maquette. Quel est le volume réel du bassin en mètres cubes ($\text{m}^3$) ? | $20\text{ m}^3$ (car les volumes sont multipliés par $50^3 = 125\,000$, soit $160 \times 125\,000 = 20\,000\,000\text{ cm}^3 = 20\text{ m}^3$). |  |  |
| 20 | Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise $2$ boules. Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes ? | $\frac{15}{28}$ (car $P(\text{RV ou VR}) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} + \frac{3}{8} \times \frac{5}{7} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$). |  |  |
| 21 | Une prescription médicale indique la transfusion d'un concentré de globules rouges (CGR) de $300\text{ mL}$ à passer en $1\text{ heure } 30\text{ minutes}$. Quel est le débit du transfuseur en $\text{gouttes/min}$ ($1\text{ mL} = 15\text{ gouttes}$) ? | $50\text{ gouttes/min}$ (car $\frac{300\text{ mL} \times 15\text{ gttes/mL}}{90\text{ min}} = \frac{4\,500}{90} = 50\text{ gouttes/min}$). |  |  |
| 22 | Un cône de révolution a pour rayon de base $R = 6\text{ cm}$ et pour hauteur $h = 8\text{ cm}$. Quel est son volume exact $V$ et quelle est la longueur $g$ de sa génératrice ? | $V = 96\pi\text{ cm}^3$ et $g = 10\text{ cm}$ — $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi \times 36 \times 8 = 96\pi\text{ cm}^3$ et la génératrice vaut $g = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ cm}$. |  |  |
| 23 | Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$. Quelle est la longueur de l'hypoténuse $BC$ et quelle est la longueur exacte de la hauteur $AH$ issue de $A$ relative à l'hypoténuse $BC$ ? | $BC = 10\text{ cm}$ et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ — $BC = 10\text{ cm}$ (théorème de Pythagore : $6^2 + 8^2 = 100$) et $AH = 4{,}8\text{ cm}$ (en exprimant l'aire du triangle de deux façons : $\frac{AB \times AC}{2} = \frac{BC \times AH}{2}$). |  |  |
| 24 | Comment effectue-t-on les conversions d'unités de volume et de masse suivantes : $0{,}045\text{ m}^3$ en litres ($\text{L}$), $250\text{ cm}^3$ en millilitres ($\text{mL}$), et $0{,}35\text{ mg}$ en microgrammes ($\mu\text{g}$ / gammas) ? | $0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ — $0{,}045\text{ m}^3 = 45\text{ dm}^3 = 45\text{ L}$ ; $250\text{ cm}^3 = 250\text{ mL}$ (car $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$) ; $0{,}35\text{ mg} = 350\text{ }\mu\text{g}$ (car $1\text{ mg} = 1\,000\text{ }\mu\text{g}$). |  |  |
| 25 | Un patient doit recevoir $15\,000\text{ UI}$ d'héparine sodique par $24\text{ heures}$ au pousse-seringue électrique (PSE). Le flacon d'héparine est dosé à $25\,000\text{ UI}$ pour $5\text{ mL}$. On prépare une seringue ramenée à $48\text{ mL}$ avec du $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour $24\text{ h}$. Quel volume d'héparine prélève-t-on et quelle est la vitesse du PSE en $\text{mL/h}$ ? | On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$) et on règle le PSE sur $2\text{ mL/h}$ — On prélève $3\text{ mL}$ d'héparine (car $25\,000\text{ UI} / 5\text{ mL} = 5\,000\text{ UI/mL}$, donc $15\,000 / 5\,000 = 3\text{ mL}$), complétés par $45\text{ mL}$ de $\text{NaCl } 0{,}9\%$ pour obtenir $48\text{ mL}$, et la vitesse du PSE est $48\text{ mL} / 24\text{ h} = 2\text{ mL/h}$. |  |  |
| 26 | Dans un triangle $ABC$, les points $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ sont tels que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, avec $AM = 4\text{ cm}$, $AB = 10\text{ cm}$ et $BC = 15\text{ cm}$. Quelle est la longueur de $[MN]$ et quel est le rapport de l'aire du triangle $AMN$ à l'aire du triangle $ABC$ ? | $MN = 6\text{ cm}$ et $\frac{\mathcal{A}(AMN)}{\mathcal{A}(ABC)} = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$ — $MN = 6\text{ cm}$ (théorème de Thalès : $\frac{MN}{15} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$) et le rapport des aires vaut $k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} = 0{,}16$. |  |  |
| 27 | Pour préparer $5\text{ litres}$ d'une solution désinfectante diluée à $0{,}5\%$ à partir d'un bidon de solution concentrée pure ($100\%$), quel volume de produit concentré et quel volume d'eau faut-il mélanger ? | $25\text{ mL}$ de produit concentré et $4\,975\text{ mL}$ d'eau (pour un volume final de $5\,000\text{ mL}$). |  |  |
| 28 | Quel est le critère de divisibilité par $11$ d'un entier naturel écrit en base dix, et le nombre $91\,828$ est-il divisible par $11$ ? | La différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair est un multiple de $11$ ; pour $91\,828$, $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 25 - 3 = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$) — Un entier est divisible par $11$ si et seulement si la somme alternée de ses chiffres est un multiple de $11$ (dans $\mathbb{Z}$). Pour $91\,828$ : $(8 + 8 + 9) - (2 + 1) = 22 = 2 \times 11$, donc $91\,828$ est divisible par $11$ ($91\,828 = 11 \times 8\,348$). |  |  |
| 29 | Un automobiliste parcourt l'aller entre deux villes distantes de $120\text{ km}$ à la vitesse moyenne de $60\text{ km/h}$, puis effectue le retour sur le même trajet à la vitesse moyenne de $40\text{ km/h}$. Quelle est sa vitesse moyenne sur l'ensemble de l'aller-retour ? | $48\text{ km/h}$ (moyenne harmonique des deux vitesses : $\frac{240\text{ km}}{2\text{ h} + 3\text{ h}} = \frac{240}{5} = 48\text{ km/h}$) — $48\text{ km/h}$ (car la durée de l'aller est $120 / 60 = 2\text{ h}$, celle du retour est $120 / 40 = 3\text{ h}$, soit $240\text{ km}$ parcourus en $5\text{ h}$, d'où $v_m = 240 / 5 = 48\text{ km/h}$). |  |  |
| 30 | Dans l'épreuve de mathématiques du CRPE (algorithmique Scratch), un lutin exécute la boucle : « Répéter 6 fois : [Avancer de 50 pas ; Tourner de 60 degrés à droite] » avec le stylo en position d'écriture. Quelle figure géométrique trace-t-il ? | Un hexagone régulier de côté $50$ pas (car l'angle extérieur de rotation à chaque sommet est $60^\circ$, et $6 \times 60^\circ = 360^\circ$, ce qui donne un angle intérieur de $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$) — Un hexagone régulier de côté $50$ pas. |  |  |
| 31 | En pédiatrie, le médecin prescrit de l'amoxicilline à la posologie de $80\text{ mg/kg/jour}$ répartie en $3$ prises égales pour un enfant pesant $15\text{ kg}$. La suspension buvable reconstituée est dosée à $250\text{ mg}$ pour $5\text{ mL}$. Quel volume en $\text{mL}$ faut-il administrer à chaque prise ? | $8\text{ mL}$ par prise (soit $400\text{ mg}$ par prise et $1\,200\text{ mg/jour}$) — $8\text{ mL}$ par prise. |  |  |
| 32 | Une bouteille d'oxygène médical de $5\text{ litres}$ (volume en eau de l'obus) affiche une pression manométrique de $150\text{ bars}$. Le patient est sous oxygénothérapie au masque à un débit de $6\text{ L/min}$. Quelle est l'autonomie théorique totale et l'autonomie utile (en gardant une marge de sécurité de $10\%$) ? | Autonomie théorique de $125\text{ minutes}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$) et autonomie utile de $112\text{ minutes}$ ($1\text{ h } 52\text{ min}$) — Volume d'oxygène disponible (loi de Mariotte) : $V = 5\text{ L} \times 150\text{ bars} = 750\text{ L}$. À $6\text{ L/min}$, l'autonomie théorique est $750 / 6 = 125\text{ min}$ ($2\text{ h } 05\text{ min}$), et avec une marge de sécurité de $10\%$, l'autonomie utile est $125 \times 0{,}9 = 112{,}5\text{ min}$ ($\approx 1\text{ h } 52\text{ min}$). |  |  |

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